円周率展開公式

以前断片的にしか載せていなかった円周率展開公式の更に多くの一覧と、簡易計算フォーム。

概要

2007/06/24

円周率を求めるに一部記載した円周率展開公式の一覧。加えて全展開式に簡単な計算フォームを付属。計算速度も以前のものより格段に上がっています。

各展開式のソースコードはscript.jsのPai.X以下に記述されています。関数の最初のPai.を取り除けば、各々の関数は単体で実行できます。

円周率展開公式とその計算フォーム

2007/06/24-2008/12/13

計算フォームのボタンを押すとフォームが表示/非表示を変更します。公式一覧を短いページサイズで見られるように、最初は計算フォームは非表示になっています。

(グレゴリー・)ライプニッツ

π = 4 (1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - ...)

オイラー

π = 4 (\frac{1}{2} - \frac{1}{3 \times 2^{3}} + \frac{1}{5 \times 2^{5}} - \frac{1}{7 \times 2^{7}} + ...) + 4 (\frac{1}{3} - \frac{1}{3 \times 3^{3}} + \frac{1}{5 \times 3^{5}} - \frac{1}{7 \times 3^{7}} + ...)

ハットン

π = 12 \arctan \frac{1}{4} + 4 \arctan \frac{5}{99}

マチン

π = 16 \arctan \frac{1}{5} - 4 \arctan \frac{1}{239}

ニュートン

π = 6 (\frac{1}{2} + \frac{1}{2 \times 3 \times 2^{3}} + \frac{1 \times 3}{2 \times 4 \times 5 \times 2^{5}} + \frac{1 \times 3 \times 5}{2 \times 4 \times 6 \times 7 \times 2^{7}} + ...)

ベガ

π = 16 \arctan \frac{1}{5} - 8 \arctan \frac{1}{408} + 4 \arctan \frac{1}{1393}

オイラー・ベガ

π = 20 \arctan \frac{1}{7} + 8 \arctan \frac{3}{79}

クラウゼン

π = 8 \arctan \frac{1}{3} + 4 \arctan \frac{1}{7}

ガウス

π = 12 \arctan \frac{1}{4} + 4 \arctan \frac{1}{20} + 4 \arctan \frac{1}{1985}

ダーゼ , シュルツ

π = 4 \arctan \frac{1}{2} + 4 \arctan \frac{1}{5} + 4 \arctan \frac{1}{8}

ラザフォード

π = 16 \arctan \frac{1}{5} - 4 \arctan \frac{1}{70} + 4 \arctan \frac{1}{99}

シャンクス , ステルマー

π = 24 \arctan \frac{1}{8} + 8 \arctan \frac{1}{57} + 4 \arctan \frac{1}{239}

シャープ

π = 2 \sqrt{3} (1 - \frac{1}{3 \times 3} + \frac{1}{5 \times 3^{2}} - \frac{1}{7 \times 3^{3}} + \frac{1}{9 \times 3^{4}} - ...)

ガウス(2)

π = 48 \arctan \frac{1}{18} + 32 \arctan \frac{1}{57} - 20 \arctan \frac{1}{239}

ヴィエタ

π = \frac{2}{\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}} \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}}} \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}}}} ...}

オイラー(2)

π = 2 \sqrt{3} \sqrt{\frac{1}{1^{2}} - \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} - \frac{1}{4^{2}} + ...}

松永良弼

π = 3 (1 + \frac{1^{2}}{4 \times 6} + \frac{1^{2} \times 3^{2}}{4 \times 6 \times 8 \times 10} + \frac{1^{2} \times 3^{2} \times 5^{2}}{4 \times 6 \times 8 \times 10 \times 12 \times 14} + ...)

クリンジェンシェルナ , ブゼインガー

π = 32 \arctan \frac{1}{10} - 16 \arctan \frac{1}{515} - 4 \arctan \frac{1}{239}

エスコット

π = 88 \arctan \frac{1}{28} + 8 \arctan \frac{1}{443} - 20 \arctan \frac{1}{1393} - 40 \arctan \frac{1}{11018}

補足：arctanの処理について

2007/06/24

arctanを用いた公式が非常に多いため、これを展開する式を補足しておく。グレゴリー・ライプニッツの公式も、4arctan1に置き換えられる。

\arctan x = \sum_{n = 0}^{∞} {(- 1)}^{n} \frac{x^{2 n + 1}}{2 n + 1}

参考文献

2007/06/24

円周率πの不思議 - ブルーバックス

関連記事

2008/08/04

ページ情報

作成日時: 2007/06/24
最終更新日時: 2008/12/13
HTML4.01版: index.html
XHTML1.1版: index.xhtml
XML原本: index.xml

count